W3. Векторные пространства, подпространства, ортогональность, ортогонализация Gram–Schmidt, QR-разложение

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

7 февраля 2026 г.

1. Краткое содержание

1.1 Векторные пространства

Векторное пространство (vector space) \(V\) над полем \(\mathbb{F}\) (обычно \(\mathbb{R}\) или \(\mathbb{C}\)) — базовая структура: множество с двумя операциями — сложением векторов и умножением на скаляр. Эти операции должны удовлетворять восьми аксиомам, которые гарантируют «хорошее» поведение и замкнутость пространства относительно них.

1.1.1 Определение и аксиомы

Для всех векторов \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\) и скаляров \(a, b \in \mathbb{F}\) должны выполняться:

Аксиомы сложения:

  • Коммутативность: \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\)
  • Ассоциативность: \((\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})\)
  • Нейтральный элемент: существует нулевой вектор \(\mathbf{0} \in V\) такой, что \(\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}\) для всех \(\mathbf{v}\)
  • Обратные элементы: для каждого \(\mathbf{v} \in V\) существует \(-\mathbf{v} \in V\) с \(\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}\)

Аксиомы умножения на скаляр:

  • Ассоциативность: \(a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}\)
  • Единичный скаляр: \(1\mathbf{v} = \mathbf{v}\)
  • Дистрибутивность (по векторам): \(a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}\)
  • Дистрибутивность (по скалярам): \((a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}\)
1.1.2 Типичные примеры векторных пространств
  • Евклидовы пространства \(\mathbb{R}^n\): упорядоченные \(n\)-ки вещественных чисел со сложением по координатам и умножением на скаляр по координатам
  • Пространства матриц \(\mathbb{R}^{m \times n}\): все матрицы размера \(m \times n\) со сложением матриц и умножением на скаляр
  • Пространства многочленов \(\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\): все многочлены степени не выше \(n\) со сложением многочленов и умножением на скаляр
  • Пространства функций \(C[a, b]\): все непрерывные функции на отрезке \([a, b]\) с поточечным сложением и умножением на скаляр
1.2 Подпространства

Подпространство (subspace) — это подмножество векторного пространства, которое само является векторным пространством при тех же операциях. Важно: подпространства наследуют структуру большего пространства, но могут иметь меньшую размерность.

1.2.1 Критерий подпространства

Вместо проверки всех восьми аксиом достаточно более простого условия. Непустое подмножество \(W\) векторного пространства \(V\) — подпространство тогда и только тогда, когда:

  • Замкнутость по сложению: для всех \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W\) выполнено \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W\)
  • Замкнутость по умножению на скаляр: для всех \(\mathbf{u} \in W\) и \(c \in \mathbb{F}\) выполнено \(c\mathbf{u} \in W\)

Из этих двух условий автоматически следует наличие нулевого вектора (возьмите \(c = 0\)), противоположных векторов (\(c = -1\)), остальные аксиомы наследуются от \(V\).

1.2.2 Примеры подпространств

Подпространства в \(\mathbb{R}^3\):

  • начало координат: \(\{\mathbf{0}\}\)
  • любая прямая через начало координат
  • любая плоскость через начало координат
  • всё пространство \(\mathbb{R}^3\)

Не подпространства в \(\mathbb{R}^3\):

  • прямая, не проходящая через начало (не содержит \(\mathbf{0}\))
  • плоскость, не проходящая через начало
  • первый октант \(\{(x, y, z) \mid x, y, z \geq 0\}\) (замкнут по сложению, но не по умножению на отрицательный скаляр)
1.2.3 Линейная оболочка (span)

Линейная оболочка (span) набора векторов \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) — множество всех их линейных комбинаций:

\[\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\} = \{c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n \mid c_i \in \mathbb{F}\}\]

Линейная оболочка любого набора векторов всегда является подпространством исходного векторного пространства.

1.3 Столбцовое пространство и нулевое пространство

Для матрицы \(A\) в линейной алгебре особенно важны два фундаментальных подпространства.

1.3.1 Столбцовое пространство (column space)

Столбцовое пространство (column space) (или образ (range)) матрицы \(A\) размера \(m \times n\), обозначение \(\text{Col}(A)\) или \(\mathcal{C}(A)\), — это линейная оболочка её столбцов; это подпространство в \(\mathbb{R}^m\).

Столбцовое пространство отвечает на вопрос: для каких \(\mathbf{b}\) уравнение \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) имеет решение?

1.3.2 Нулевое пространство (null space)

Нулевое пространство (null space) (или ядро (kernel)) матрицы \(A\) размера \(m \times n\), обозначение \(\text{Nul}(A)\) или \(\mathcal{N}(A)\), — множество всех решений однородного уравнения \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\):

\[\text{Nul}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\]

Это подпространство в \(\mathbb{R}^n\).

1.3.3 Структура полного решения

Если \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) разрешимо, то полное решение имеет вид:

\[\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\]

где \(\mathbf{x}_p\) — частное решение (любое решение \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)), а \(\mathbf{x}_n\) пробегает все решения однородного уравнения \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) (нулевое пространство).

1.4 Скалярное произведение и ортогональность

Скалярное произведение (inner product) обобщает dot product на абстрактные векторные пространства и позволяет измерять углы и расстояния даже в больших размерностях.

1.4.1 Определение скалярного произведения

Скалярное произведение (inner product) на \(V\) — это отображение \(\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}\), для всех \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\) и \(a \in \mathbb{F}\) выполняющее:

  • Сопряжённая симметрия: \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}\) (в вещественном случае — обычная симметрия)
  • Линейность по первому аргументу: \(\langle a\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\)
  • Положительная определённость: \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0\), причём равенство нулю тогда и только тогда, когда \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
1.4.2 Стандартные скалярные произведения
  • В \(\mathbb{R}^n\): \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i\) (dot product)
  • В \(\mathbb{C}^n\): \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^* \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n \overline{x}_i y_i\)
  • Для непрерывных функций: \(\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\, dx\)
1.4.3 Ортогональность

Векторы \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) ортогональны (orthogonal) (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю:

\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\]

Угол между ортогональными векторами равен \(90^\circ\).

1.4.4 Ортонормированные системы

Набор \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) ортонормирован (orthonormal), если

\[\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases} = \delta_{ij}\]

векторы попарно ортогональны и каждый имеет единичную длину.

1.4.5 Проекция на вектор

Проекция (projection) вектора \(\mathbf{v}\) на вектор \(\mathbf{u}\) (при \(\mathbf{u} \neq \mathbf{0}\)):

\[\text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}\]

Это компонента \(\mathbf{v}\) вдоль \(\mathbf{u}\); остаток \(\mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\) ортогонален \(\mathbf{u}\).

1.5 Процесс ортогонализации Gram–Schmidt

Процесс Gram–Schmidt (Gram–Schmidt process) — алгоритм, который по линейно независимому набору строит ортонормированный базис (orthonormal basis) того же подпространства. Это важно: ортонормированные базисы упрощают вычисления и повышают численную устойчивость (numerical stability).

1.5.1 Зачем ортогонализация?

Ортогональные базисы удобнее «произвольных» базисов по нескольким причинам:

  • проще считать: скалярные произведения становятся прозрачнее
  • устойчивость: меньше накопления ошибок округления
  • QR-разложение: естественный путь к факторизации матрицы
  • обработка сигналов: снижение корреляций в данных
  • метод наименьших квадратов (least squares): эффективное решение переопределённых систем
1.5.2 Алгоритм

Пусть \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}\) линейно независимы. Процесс Gram–Schmidt строит ортонормированные \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) с той же линейной оболочкой.

Шаг 1: первый вектор

\[\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \quad \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|}\]

Шаг 2: второй вектор (вычитаем проекцию \(\mathbf{v}_2\) на \(\mathbf{u}_1\))

\[\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \text{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1\]

\[\mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|}\]

Шаг 3: третий и далее

Для \(j = 3, 4, \ldots, n\):

\[\mathbf{u}_j = \mathbf{v}_j - \sum_{i=1}^{j-1} \text{proj}_{\mathbf{u}_i}(\mathbf{v}_j) = \mathbf{v}_j - \sum_{i=1}^{j-1} \frac{\mathbf{v}_j \cdot \mathbf{u}_i}{\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_i}\mathbf{u}_i\]

\[\mathbf{e}_j = \frac{\mathbf{u}_j}{\|\mathbf{u}_j\|}\]

Смысл: из каждого нового вектора вычитаются все проекции на уже ортогонализованные направления — так обеспечивается ортогональность.

1.6 QR-разложение

QR-разложение (QR decomposition) — факторизация матрицы: любую матрицу с линейно независимыми столбцами можно записать как произведение матрицы с ортонормированными столбцами и верхней треугольной матрицы.

1.6.1 Теорема о QR

Любую матрицу \(A\) размера \(m \times n\) с линейно независимыми столбцами можно представить в виде

\[A = QR\]

где:

  • \(Q\) — матрица \(m \times n\) с ортонормированными столбцами (orthonormal columns)
  • \(R\) — верхняя треугольная матрица \(n \times n\) с положительными элементами на главной диагонали
1.6.2 Построение из Gram–Schmidt

QR-разложение естественно получается из процесса Gram–Schmidt. Если \(A = [\mathbf{v}_1 \, \mathbf{v}_2 \, \cdots \, \mathbf{v}_n]\), то

\[\mathbf{v}_1 = r_{11}\mathbf{e}_1\]

\[\mathbf{v}_2 = r_{12}\mathbf{e}_1 + r_{22}\mathbf{e}_2\]

\[\mathbf{v}_3 = r_{13}\mathbf{e}_1 + r_{23}\mathbf{e}_2 + r_{33}\mathbf{e}_3\]

\[\vdots\]

коэффициенты \(r_{ij}\) образуют матрицу \(R\):

\[A = [\mathbf{e}_1 \, \mathbf{e}_2 \, \cdots \, \mathbf{e}_n] \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & \cdots \\ 0 & r_{22} & r_{23} & \cdots \\ 0 & 0 & r_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = QR\]

1.6.3 Вычисление \(R\) по \(Q\) и \(A\)

Если \(Q\) уже найдена,

\[R = Q^T A\]

так как \(Q^T Q = I\) при ортонормированных столбцах.

1.7 Численная устойчивость: modified Gram–Schmidt

Классический Gram–Schmidt может терять устойчивость, когда векторы почти линейно зависимы. Алгоритм modified Gram–Schmidt выполняет те же вычисления в другом порядке, более устойчивом к ошибкам округления:

вместо того чтобы одновременно спроецировать \(\mathbf{v}_j\) на все предыдущие векторы, modified Gram–Schmidt вычитает проекции по одной, обновляя оставшийся вектор после каждого шага. Так ортогональность лучше сохраняется при конечной точности арифметики.

2. Определения

  • Векторное пространство (vector space): множество со сложением и умножением на скаляр, удовлетворяющее восьми аксиомам (замкнутость, ассоциативность, коммутативность, нейтральные элементы и обратимость).
  • Подпространство (subspace): непустое подмножество векторного пространства, замкнутое по сложению и умножению на скаляр.
  • Столбцовое пространство (column space) \(\text{Col}(A)\): все линейные комбинации столбцов \(A\); эквивалентно — все \(\mathbf{b}\), для которых \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) разрешимо.
  • Нулевое пространство (null space) \(\text{Nul}(A)\): все \(\mathbf{x}\) с \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
  • Линейная оболочка (span): все линейные комбинации данного набора векторов; всегда подпространство.
  • Базис (basis): линейно независимая система, линейная оболочка которой совпадает с подпространством.
  • Ортогональные векторы (orthogonal vectors): скалярное произведение равно нулю; в геометрии — перпендикулярны.
  • Ортонормированная система (orthonormal set): попарно ортогональные векторы единичной длины.
  • Скалярное произведение (inner product): отображение \(V\times V\to\mathbb{F}\), обобщающее dot product.
  • Норма (norm / magnitude): длина вектора, \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}\).
  • Проекция (projection): компонента одного вектора вдоль другого, \(\text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}\).
  • Процесс Gram–Schmidt (Gram–Schmidt process): алгоритм перехода от линейно независимого набора к ортонормированному с той же линейной оболочкой.
  • QR-разложение (QR decomposition): \(A = QR\), где у \(Q\) ортонормированные столбцы, а \(R\) — верхняя треугольная.

3. Формулы

  • Dot product (скалярное произведение в \(\mathbb{R}^n\)): \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i\)
  • Норма вектора (norm): \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\)
  • Единичный вектор: \(\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\) (при \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\))
  • Условие ортогональности: \(\mathbf{u} \perp \mathbf{v}\) тогда и только тогда, когда \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\)
  • Проекция \(\mathbf{v}\) на \(\mathbf{u}\): \(\text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}\)
  • Ортогональная компонента: \(\mathbf{v} - \text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\) ортогональна \(\mathbf{u}\)
  • Gram–Schmidt (общий шаг): для \(j = 1, 2, \ldots, n\): \[\mathbf{u}_j = \mathbf{v}_j - \sum_{i=1}^{j-1} \frac{\mathbf{v}_j \cdot \mathbf{u}_i}{\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_i}\mathbf{u}_i, \quad \mathbf{e}_j = \frac{\mathbf{u}_j}{\|\mathbf{u}_j\|}\]
  • QR-разложение: \(A = QR\), где \(Q^T Q = I\) и \(R\) — верхняя треугольная
  • \(R\) через \(Q\) и \(A\): \(R = Q^T A\)

4. Примеры

4.1. Какие пары ортогональны (Лаба 3, Задание 1)

Среди векторов \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\) укажите пары, ортогональные (orthogonal) друг другу.

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: два вектора ортогональны, если их dot product равен нулю: \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\).

Считаем скалярные произведения для всех пар:

  1. \(\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2\): \[(1)(4) + (2)(0) + (-2)(4) + (1)(0) = 4 + 0 - 8 + 0 = -4 \neq 0\] не ортогональны.
  2. \(\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3\): \[(1)(1) + (2)(-1) + (-2)(-1) + (1)(-1) = 1 - 2 + 2 - 1 = 0\] ортогональны.
  3. \(\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_4\): \[(1)(1) + (2)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 + 2 - 2 + 1 = 2 \neq 0\] не ортогональны.
  4. \(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3\): \[(4)(1) + (0)(-1) + (4)(-1) + (0)(-1) = 4 + 0 - 4 + 0 = 0\] ортогональны.
  5. \(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_4\): \[(4)(1) + (0)(1) + (4)(1) + (0)(1) = 4 + 0 + 4 + 0 = 8 \neq 0\] не ортогональны.
  6. \(\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{v}_4\): \[(1)(1) + (-1)(1) + (-1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 - 1 = -2 \neq 0\] не ортогональны.

Ответ: ортогональны пары \((\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3)\) и \((\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)\).

4.2. Проекция вектора на прямую (Лаба 3, Задание 2)

Спроецируйте вектор \(\mathbf{b}\) на прямую через \(\mathbf{a}\). Проверьте, что \(\mathbf{e}\) перпендикулярен \(\mathbf{a}\):

\[\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a} = \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ -1 \end{bmatrix}\]

где \(\mathbf{e} = \mathbf{b} - \mathbf{p}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: проекция \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}\): \(\text{proj}_{\mathbf{a}}(\mathbf{b}) = \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}\mathbf{a}\).

  1. \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\): \[\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = (1)(-1) + (3)(-3) + (1)(-1) = -1 - 9 - 1 = -11\]
  2. \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}\): \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = (-1)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11\]
  3. Проекция: \[\mathbf{p} = \frac{-11}{11}\mathbf{a} = -1 \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -3 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\]
  4. Вектор ошибки \(\mathbf{e}\): \[\mathbf{e} = \mathbf{b} - \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]
  5. Проверка \(\mathbf{e} \perp \mathbf{a}\): \[\mathbf{e} \cdot \mathbf{a} = (0)(-1) + (0)(-3) + (0)(-1) = 0\] ✓ перпендикулярны.

Замечание: так как \(\mathbf{e} = \mathbf{0}\), вектор \(\mathbf{b}\) лежит на прямой через \(\mathbf{a}\) (они коллинеарны).

Ответ: \(\mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{e} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\).

4.3. Gram–Schmidt (базовый случай) (Лаба 3, Задание 3a)

Примените процесс Gram–Schmidt к векторам

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Gram–Schmidt переводит линейно независимый набор в ортонормированный (orthonormal).

  1. Первый шаг (ортогонализация): \[\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
  2. Второй шаг: \[\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1\]
    • \(\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1 = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1\)
    • \(\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2\)
    • значит \(\mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{bmatrix}\)
  3. Нормировка:
    • \(\|\mathbf{u}_1\| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\)
    • \(\mathbf{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\)
    • \(\|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1 + 1/4} = \sqrt{3/2} = \sqrt{6}/2\)
    • \(\mathbf{e}_2 = \frac{2}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \end{bmatrix}\)

Ответ: ортогональные: \(\mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{bmatrix}\)

ортонормированные: \(\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\), \(\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \end{bmatrix}\)

4.4. QR-разложение матрицы \(3\times 2\) (Лаба 3, Задание 3b)

Найдите QR-разложение матрицы

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: при линейно независимых столбцах \(A = QR\), где у \(Q\) ортонормированные столбцы, \(R\) — верхняя треугольная (upper triangular).

  1. Gram–Schmidt по столбцам \(A\):

    • \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\quad \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{2}\)
    • \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

  2. Первый ортонормированный столбец: \[\mathbf{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

  3. Ортогонализация второго столбца: \[\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_1 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1\] \[\mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{bmatrix}\]

  4. Нормировка второго столбца: \[\|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{1/4 + 1 + 1/4} = \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\] \[\mathbf{e}_2 = \frac{2}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 1/2 \\ 1 \\ -1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \end{bmatrix}\]

  5. Сборка \(Q\) и \(R\): \[Q = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} \end{bmatrix}\]

    Из разложения по \(\mathbf{e}_i\):

    • \(\mathbf{v}_1 = \sqrt{2} \, \mathbf{e}_1 + 0 \, \mathbf{e}_2\) — первый столбец \(R\): \(\begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}\)
    • \(\mathbf{v}_2 = 1 \, \mathbf{e}_1 + \frac{\sqrt{6}}{2} \, \mathbf{e}_2\) — второй столбец \(R\): \(\begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{6}/2 \end{bmatrix}\)

    \[R = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ 0 & \sqrt{6}/2 \end{bmatrix}\]

Ответ: \[Q = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} \\ 0 & 2/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} \end{bmatrix}, \quad R = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ 0 & \sqrt{6}/2 \end{bmatrix}\]

4.5. Ортогонализация в \(\mathbb{R}^4\) и QR (Лаба 3, Задание 3c)

Ортогонализуйте векторы в \(\mathbb{R}^4\) и найдите QR-разложение \(A = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3]\):

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Gram–Schmidt последовательно вычитает проекции, получая ортогональные направления.

  1. Первый вектор: \[\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \|\mathbf{u}_1\|^2 = 2\]
  2. Второй вектор: \[\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1 = 1 + 0 + 0 + 0 = 1\] \[\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{1}{2}\mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] \[\|\mathbf{u}_2\|^2 = 1/4 + 1/4 + 1 = 3/2\]
  3. Третий вектор: \[\mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_1 = 1, \quad \mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{u}_2 = 1/2 - 0 + 0 = 1/2\] \[\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{1}{2}\mathbf{u}_1 - \frac{1/2}{3/2}\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_3 - \frac{1}{2}\mathbf{u}_1 - \frac{1}{3}\mathbf{u}_2\] \[\mathbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/6 \\ -1/6 \\ 1/3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 \\ -1/3 \\ -1/3 \\ 1 \end{bmatrix}\] \[\|\mathbf{u}_3\|^2 = 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1 = 12/9 = 4/3\]
  4. Матрица \(Q\) (нормировка): \[Q = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{6} & 1/2 \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{6} & -1/2 \\ 0 & 2/\sqrt{6} & -1/2 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}\]
  5. Матрица \(R\) (скалярные произведения): \[R = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{3/2} & 1/(2\sqrt{3/2}) \\ 0 & 0 & 2/\sqrt{3} \end{bmatrix}\]

Ответ: ортогональные \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\) — как выше; \(A = QR\) с указанными \(Q\) и \(R\).

4.6. Ортогонализация Gram–Schmidt как \(A = QR\) (Лаба 3, Задание 4)

Запишите ортогонализацию Gram–Schmidt для \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\) в виде \(A = QR\):

\[\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Дано \(n\) векторов по \(m\) координат; каковы размерности \(A\), \(Q\) и \(R\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: QR-разложение естественно следует из Gram–Schmidt; размерности определяются \(m\) и \(n\).

  1. Gram–Schmidt: \[\mathbf{u}_1 = \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \|\mathbf{u}_1\|^2 = 1 + 4 + 4 = 9, \quad \|\mathbf{u}_1\| = 3\]
  2. Второй вектор (ортогонализация): \[\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{u}_1 = 1 + 6 + 2 = 9\] \[\mathbf{u}_2 = \mathbf{a}_2 - \frac{9}{9}\mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\] \[\|\mathbf{u}_2\|^2 = 0 + 1 + 1 = 2, \quad \|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{2}\]
  3. Нормировка для \(Q\): \[\mathbf{e}_1 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]
  4. Матрицы: \[Q = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 2/3 & 1/\sqrt{2} \\ 2/3 & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}, \quad R = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}\]
  5. Размерности: при \(n\) векторах по \(m\) координатам:
    • \(A\) имеет размер \(m \times n\)
    • \(Q\) — \(m \times n\) (ортонормированные столбцы)
    • \(R\) — \(n \times n\) (верхняя треугольная)

Ответ: \(Q = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 2/3 & 1/\sqrt{2} \\ 2/3 & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\), \(R = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}\)

Для \(n\) векторов по \(m\) координатам: \(A\) — \(m \times n\), \(Q\) — \(m \times n\), \(R\) — \(n \times n\).

4.7. Ортонормированный базис из неортогональных векторов (Лаба 3, Задание 5)

По неортогональным \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\) найдите ортонормированные \(\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3\):

\[\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Gram–Schmidt и нормировка на единичную длину.

  1. Первый ортонормированный вектор: \[\mathbf{u}_1 = \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \|\mathbf{u}_1\| = \sqrt{2}\] \[\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]
  2. Второй ортонормированный вектор: \[\mathbf{b} \cdot \mathbf{u}_1 = 1 + 0 + 0 = 1\] \[\mathbf{u}_2 = \mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix}\] \[\|\mathbf{u}_2\|^2 = 1/4 + 1/4 + 1 = 3/2, \quad \|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{3/2}\] \[\mathbf{q}_2 = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \end{bmatrix}\]
  3. Третий ортонормированный вектор: \[\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}_1 = 0 + 1 + 0 = 1\] \[\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}_2 = 0 - 1/2 + 1 = 1/2\] \[\mathbf{u}_3 = \mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{u}_1 - \frac{1/2}{3/2}\mathbf{u}_2 = \mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{u}_1 - \frac{1}{3}\mathbf{u}_2\] \[\mathbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 1 \end{bmatrix}\] \[= \begin{bmatrix} -1/2 \\ 1/2 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/6 \\ -1/6 \\ 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{bmatrix}\] \[\|\mathbf{u}_3\|^2 = 4/9 + 4/9 + 4/9 = 4/3, \quad \|\mathbf{u}_3\| = \frac{2}{\sqrt{3}}\] \[\mathbf{q}_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}\begin{bmatrix} -2/3 \\ 2/3 \\ 2/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}\]

Ответ: \[\mathbf{q}_1 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{q}_2 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ -1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{q}_3 = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}\]

4.8. Проекции на две прямые (Лаба 3, Задание 6)

Спроецируйте \(\mathbf{b} = (1, 1)\) на прямые через \(\mathbf{a}_1 = (1, 0)\) и \(\mathbf{a}_2 = (1, 2)\). На чертеже отметьте \(\mathbf{p}_1\), \(\mathbf{p}_2\) и сумму \(\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2\). Сумма проекций не совпадает с \(\mathbf{b}\), потому что \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) не ортогональны.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: без ортогональности базиса проекции на оси не складываются в исходный вектор — отсюда мотивация ортогонализации.

  1. Проекция \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}_1 = (1, 0)\): \[\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_1 = (1)(1) + (1)(0) = 1\] \[\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 = 1\] \[\mathbf{p}_1 = \frac{1}{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]

  2. Проекция \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}_2 = (1, 2)\): \[\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_2 = (1)(1) + (1)(2) = 3\] \[\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 = 1 + 4 = 5\] \[\mathbf{p}_2 = \frac{3}{5}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/5 \\ 6/5 \end{bmatrix}\]

  3. Сумма проекций: \[\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3/5 \\ 6/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8/5 \\ 6/5 \end{bmatrix}\]

  4. Сравнение с \(\mathbf{b}\): \[\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 8/5 \\ 6/5 \end{bmatrix}\]

    Сумма проекций не равна \(\mathbf{b}\), так как \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) не ортогональны: \(\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 = 1 \neq 0\).

Ответ: \(\mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} 3/5 \\ 6/5 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} 8/5 \\ 6/5 \end{bmatrix} \neq \mathbf{b}\)

4.9. Какие подмножества — подпространства (Лаба 3, Задание 7)

Какие из следующих подмножеств \(\mathbb{R}^3\) являются подпространствами (subspaces)?

  1. Множество \((b_1, b_2, b_3)\) с \(b_1 = 0\).
  2. Множество \(\mathbf{b}\) с \(b_1 = 1\).
  3. Множество \(\mathbf{b}\) с \(b_2 b_3 = 0\) (объединение плоскостей \(b_2 = 0\) и \(b_3 = 0\)).
  4. Все линейные комбинации \((1, 1, 0)\) и \((2, 0, 1)\).
  5. Множество \((b_1, b_2, b_3)\) с условием \(b_3 - b_2 + 3b_1 = 0\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: подмножество — подпространство, если содержит \(\mathbf{0}\) и замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

(a) \(b_1 = 0\) — подпространство * \(\mathbf{0} = (0, 0, 0)\) ✓ * замкнутость по сложению: из \(b_1=0\) и \(b_1'=0\) следует \(b_1+b_1'=0\) ✓ * замкнутость по умножению на скаляр ✓

(b) \(b_1 = 1\) — не подпространство * нет \(\mathbf{0}\) (у нулевого вектора \(b_1=0\)) ✗

(c) объединение плоскостей \(b_2=0\) или \(b_3=0\) — не подпространство * \(\mathbf{0}\) есть ✓ * не замкнуто по сложению: \((0,1,0)+(0,0,1)=(0,1,1)\), здесь \(b_2\neq0\) и \(b_3\neq0\) ✗

(d) все комбинации \((1,1,0)\) и \((2,0,1)\) — подпространство * это \(\text{span}\) двух векторов — всегда подпространство * \(\mathbf{0}\) (оба коэффициента \(0\)) ✓ * замкнутость по сложению и по скаляру ✓

(e) \(b_3 - b_2 + 3b_1 = 0\) — подпространство * \(\mathbf{0}\) удовлетворяет уравнению ✓ * замкнутость по сложению ✓ * замкнутость по скаляру ✓

Ответ: подпространства — (a), (d), (e); не подпространства — (b) и (c).

4.10. Верно/неверно: подмножества матриц (Лаба 3, Задание 8)

Пусть \(\mathbf{M}\) — все матрицы \(3 \times 3\). Отметьте каждое утверждение как TRUE или FALSE (для сложения можно проверить на примере):

  1. Кососимметрические матрицы в \(\mathbf{M}\) (\(A^T = -A\)) образуют подпространство.
  2. Несимметрические матрицы в \(\mathbf{M}\) (\(A^T \neq A\)) образуют подпространство.
  3. Матрицы, для которых \((1,1,1)\) лежит в nullspace, образуют подпространство.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: проверить наличие нулевой матрицы и замкнутость относительно сложения матриц и умножения на скаляр.

(a) Кососимметрические (\(A^T = -A\)): TRUE * \(0^T = -0\) ✓ * замкнутость по сложению: из \(A^T=-A\), \(B^T=-B\) следует \((A+B)^T=-(A+B)\) ✓ * замкнутость по скаляру ✓

(b) Несимметрические (\(A^T \neq A\)): FALSE * нулевая матрица симметрична, значит не лежит в этом множестве ✗ * контрпример на замкнутость: две «несимметричные» могут дать симметричную сумму; например \[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\] обе несимметричны, \(A+B\) тоже может быть несимметричной, но отсутствие \(\mathbf{0}\) уже делает множество не подпространством.

(c) Вектор \((1,1,1)\) в nullspace: TRUE * это \(A\) с \(A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{0}\) * нулевая матрица подходит ✓ * замкнутость по сложению и скаляру ✓

Ответ: (a) TRUE, (b) FALSE, (c) TRUE

4.11. Вектор в линейной оболочке (Задание 3, п. 1)

Докажите, что \(\mathbf{w}\) лежит в подпространстве \(\mathbb{R}^4\), натянутом на \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\):

\[\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 9 \\ -4 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 8 \\ -4 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \\ -8 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \\ -5 \\ -18 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: нужно найти \(c_1, c_2, c_3\) с \(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{w}\).

  1. Линейная система: \[c_1\begin{bmatrix} 8 \\ -4 \\ -3 \\ 9 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \\ -8 \end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix} -7 \\ 6 \\ -5 \\ -18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -4 \\ -4 \\ 7 \end{bmatrix}\]
  2. Расширенная матрица: \[\begin{bmatrix} 8 & -4 & -7 & | & 9 \\ -4 & 3 & 6 & | & -4 \\ -3 & -2 & -5 & | & -4 \\ 9 & -8 & -18 & | & 7 \end{bmatrix}\]
  3. Элементарные преобразования строк: после приведения к RREF (шаги опущены) система согласована (consistent).
  4. Частное решение: например \(c_1 = c_2 = c_3 = 1\) (подстановка даёт согласованность), значит \(\mathbf{w} \in \text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}\).

Ответ: \(\mathbf{w} \in \text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}\) (решение существует).

4.12. Принадлежность вектора столбцовому пространству (Задание 3, п. 2)

Определите, лежит ли \(\mathbf{y}\) в линейной оболочке столбцов \(A\) в \(\mathbb{R}^4\):

\[\mathbf{y} = \begin{bmatrix} -4 \\ -8 \\ 6 \\ -5 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 3 & -5 & -9 \\ 8 & 7 & -6 \\ -5 & -8 & 3 \\ 2 & -2 & -9 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\mathbf{y} \in \text{Col}(A)\) тогда и только тогда, когда \(A\mathbf{x} = \mathbf{y}\) согласована.

  1. Расширенная матрица \([A | \mathbf{y}]\): \[\begin{bmatrix} 3 & -5 & -9 & | & -4 \\ 8 & 7 & -6 & | & -8 \\ -5 & -8 & 3 & | & 6 \\ 2 & -2 & -9 & | & -5 \end{bmatrix}\]

  2. Приведение к ступенчатому виду:

    • \(R_2 \to R_2 - \frac{8}{3}R_1\), \(R_3 \to R_3 + \frac{5}{3}R_1\), \(R_4 \to R_4 - \frac{2}{3}R_1\)

  3. Дальнейшие шаги: после полного приведения проверьте, есть ли строка вида \([0 \, 0 \, 0 \, | \, c]\) с \(c \neq 0\).

    Если такой строки нет — система согласована, \(\mathbf{y} \in \text{Col}(A)\). Если есть — несогласованна (inconsistent), \(\mathbf{y} \notin \text{Col}(A)\).

  4. Итог: по RREF определяется согласованность.

Ответ: по приведённой форме: если согласована — \(\mathbf{y} \in \text{Col}(A)\); иначе \(\mathbf{y} \notin \text{Col}(A)\).

4.13. Размерность \(\mathbb{R}^k\) для \(\text{Nul}(A)\) и \(\text{Col}(A)\) (Задание 3, п. 3)

Для матриц из упражнений 17–20: (a) найдите \(k\), для которого \(\text{Nul}(A)\) — подпространство в \(\mathbb{R}^k\); (b) найдите \(k\) для \(\text{Col}(A)\).

Матрица 17: \[A = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 2 \\ -9 & 6 \\ 9 & -6 \end{bmatrix}\]

Матрица 18: \[A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \\ -5 & 7 & 2 \end{bmatrix}\]

Матрица 19: \[A = \begin{bmatrix} 4 & 5 & -2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

Матрица 20: \[A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 0 & -5 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: для \(A\) размера \(m \times n\):

  • \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^n\) (число столбцов)
  • \(\text{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^m\) (число строк)

Матрица 17 (\(4 \times 2\)):

    1. \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^2\)
    1. \(\text{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^4\)

Матрица 18 (\(4 \times 3\)):

    1. \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^3\)
    1. \(\text{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^4\)

Матрица 19 (\(2 \times 5\)):

    1. \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^5\)
    1. \(\text{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^2\)

Матрица 20 (\(1 \times 5\)):

    1. \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^5\)
    1. \(\text{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^1\)

Ответ:

  • Матрица 17: (a) \(\mathbb{R}^2\), (b) \(\mathbb{R}^4\)
  • Матрица 18: (a) \(\mathbb{R}^3\), (b) \(\mathbb{R}^4\)
  • Матрица 19: (a) \(\mathbb{R}^5\), (b) \(\mathbb{R}^2\)
  • Матрица 20: (a) \(\mathbb{R}^5\), (b) \(\mathbb{R}^1\)
4.14. Верно/неверно: null space и column space (Задание 3, п. 4)

Для матрицы \(A\) размера \(m \times n\) отметьте каждое утверждение как TRUE/FALSE и обоснуйте:

  1. Null space матрицы \(A\) — это множество решений \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
  2. Null space матрицы \(m \times n\) лежит в \(\mathbb{R}^m\).
  3. Column space \(A\) — это range отображения \(\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}\).
  4. Если \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) согласовано, то \(\text{Col}(A) = \mathbb{R}^m\).
  5. Kernel линейного отображения — векторное пространство.
  6. \(\text{Col}(A)\) — множество всех векторов вида \(A\mathbf{x}\) при некотором \(\mathbf{x}\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: определения null space, column space и свойства образа/ядра.

(a) TRUE По определению \(\text{Nul}(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\) — именно множество решений \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).

(b) FALSE \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^n\) (область определения \(A\)), а не \(\mathbb{R}^m\). У \(\mathbf{x}\) \(n\) компонент. \(\text{Nul}(A) \subseteq \mathbb{R}^n\).

(c) TRUE Range (image) отображения \(\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}\) есть \(\{A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} = \text{Col}(A)\).

(d) FALSE Согласованность для одного \(\mathbf{b}\) не влечёт \(\text{Col}(A) = \mathbb{R}^m\). Пример: \(A = [1 \, 0]\) (\(1 \times 2\)), уравнение \(A\mathbf{x} = 1\) разрешимо, но \(\text{Col}(A) = \mathbb{R}\) — не всё \(\mathbb{R}^m\) при \(m>1\). Нужна разрешимость для всех \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\).

(e) TRUE Kernel \(T : V \to W\) — \(\{\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}\), подпространство в \(V\).

(f) TRUE Определение column space: \(\text{Col}(A) = \{A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}\).

Ответ: (a) TRUE, (b) FALSE, (c) TRUE, (d) FALSE, (e) TRUE, (f) TRUE

4.15. Верно/неверно: подпространства и размерность (Задание 3, п. 5)

Для матрицы \(A\) размера \(m \times n\) отметьте каждое утверждение как TRUE/FALSE и обоснуйте:

  1. Null space — векторное пространство.
  2. Column space матрицы \(m \times n\) лежит в \(\mathbb{R}^m\).
  3. \(\text{Col}(A)\) — множество всех решений \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\).
  4. \(\text{Nul}(A)\) — kernel отображения \(\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}\).
  5. Range линейного отображения — векторное пространство.
  6. Множество решений однородного линейного дифференциального уравнения — kernel некоторого линейного оператора.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: критерии подпространства и определения \(\text{Nul}(A)\), \(\text{Col}(A)\).

(a) TRUE \(\text{Nul}(A)\) — подпространство в \(\mathbb{R}^n\) по определению.

(b) TRUE \(\text{Col}(A)\) — линейная оболочка столбцов с \(m\) компонентами, поэтому \(\text{Col}(A) \subseteq \mathbb{R}^m\).

(c) FALSE \(\text{Col}(A)\) — это все \(\mathbf{b}\), для которых \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) имеет решение, а не сами решения \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\).

(d) TRUE Kernel \(T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\) есть \(\{\mathbf{x}\mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}=\text{Nul}(A)\).

(e) TRUE Range \(T:V\to W\) — \(\{T(\mathbf{v})\mid \mathbf{v}\in V\}\), подпространство в \(W\).

(f) TRUE Например для \(\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\) множество решений — kernel оператора \(T(y)=\frac{d^2y}{dx^2}+y\) на подходящем функциональном пространстве; решения однородного линейного ОДУ всегда образуют линейное пространство.

Ответ: (a) TRUE, (b) TRUE, (c) FALSE, (d) TRUE, (e) TRUE, (f) TRUE

4.16. Верно/неверно: свойства column space (Туториал 3, Задание 1)

TRUE или FALSE (если FALSE — контрпример)?

  1. Векторы \(\mathbf{b}\), не лежащие в \(\text{Col}(A)\), образуют подпространство.
  2. Если \(\text{Col}(A) = \{\mathbf{0}\}\), то \(A\) — нулевая матрица.
  3. \(\text{Col}(2A) = \text{Col}(A)\).
  4. \(\text{Col}(A - I) = \text{Col}(A)\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: дополнение к подпространству само подпространством не бывает; \(\text{Col}(cA)\) при \(c\neq 0\) совпадает с \(\text{Col}(A)\).

(a) FALSE Если \(A = I_2\), то \(\text{Col}(A)=\mathbb{R}^2\), дополнение пусто. Если \(A=[0]\), то \(\text{Col}(A)=\{0\}\), а все ненулевые скаляры не образуют подпространство (нет \(\mathbf{0}\)). Дополнение к \(\text{Col}(A)\) не замкнуто по сложению: при \(A=[1\,0]\) векторы \((1,1)\) и \((1,-1)\) не в \(\text{Col}(A)\), но сумма \((2,0)\in\text{Col}(A)\).

(b) TRUE Тогда \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) для всех \(\mathbf{x}\), значит каждый столбец \(A\) нулевой.

(c) TRUE \(\text{Col}(2A)=\{2A\mathbf{x}\}=\{A(2\mathbf{x})\}=\text{Col}(A)\).

(d) FALSE \(A=I\): \(\text{Col}(A)=\mathbb{R}^n\), а \(A-I=0\) даёт \(\text{Col}(A-I)=\{\mathbf{0}\}\).

Ответ: (a) FALSE, (b) TRUE, (c) TRUE, (d) FALSE

4.17. Примеры: число решений \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) (Туториал 3, Задание 2)

Приведите примеры \(A\), для которых число решений \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) равно

  1. \(0\) или \(1\) в зависимости от \(\mathbf{b}\).
  2. \(\infty\) при любом \(\mathbf{b}\).
  3. \(0\) или \(\infty\) в зависимости от \(\mathbf{b}\).
  4. \(1\) при любом \(\mathbf{b}\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: ранг \(A\), размеры \(m,n\) и положение \(\mathbf{b}\) относительно \(\text{Col}(A)\).

(a) \(0\) или \(1\): \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) (\(3\times 2\), полный column rank).

Для \(\mathbf{b} = (b_1,b_2,b_3)^T\):

  • при \(b_3 = 0\) — ровно одно решение \(\mathbf{x} = (b_1,b_2)^T\);
  • при \(b_3 \neq 0\) — несогласованность.

(b) \(\infty\) при любом \(\mathbf{b}\): Для «больше строк, чем столбцов» и одновременно \(\text{Col}(A)=\mathbb{R}^m\) — невозможно. Но для недоопределённой системы: \(A=[1\,1]\) (\(1\times 2\)): \(x_1+x_2=b\) при любом \(b\) даёт \(\infty\) решений (одна free variable).

(c) \(0\) или \(\infty\): \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\), \(\operatorname{rank}A=1\).

  • при \(b_2=2b_1\) — бесконечно много решений;
  • иначе — нет решений.

(d) ровно одно при любом \(\mathbf{b}\): \(A = I_2\) (любая невырожденная \(n\times n\)): \(\mathbf{x}=\mathbf{b}\).

Ответ: (a) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

  1. \(A = [1 \, 1]\)

  2. \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)

  3. \(A = I_n\) (любая обратимая матрица)

4.18. RREF и специальные решения при параметре \(c\) (Туториал 3, Задание 3)

Для каждого \(c\) найдите \(R\) в виде RREF и специальные решения (special solutions) системы \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\):

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & c & 2 & 2 \end{bmatrix}, \quad \text{и} \quad A = \begin{bmatrix} 1-c & 2 \\ 0 & 2-c \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: вид RREF и базис null space зависят от значений параметра.

Первая матрица:

  1. Элементарные преобразования строк: \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & c & 2 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & c & 2 & 2 \end{bmatrix}\]

    \[\xrightarrow{R_3 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c-1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

  2. Случай \(c \neq 1\)

    Меняем строки 2 и 3 местами, делим строку 2 на \((c-1)\): \[R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

    Свободные переменные (free variables): \(x_3, x_4\)

    при \(x_3 = 1, x_4 = 0\): \(\mathbf{s}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

    при \(x_3 = 0, x_4 = 1\): \(\mathbf{s}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

  3. Случай \(c = 1\)

    \[R = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

    свободные: \(x_2, x_3, x_4\)

    специальные: \(\mathbf{s}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{s}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{s}_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Вторая матрица:

  1. \(c \neq 1\) и \(c \neq 2\)

    обратимая диагональная матрица: \[R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

    нет нетривиальных специальных решений (только \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\))

  2. \(c = 1\)

    \[R = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\text{упр.}} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

    свободная: \(x_1\)

    \(\mathbf{s} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

  3. \(c = 2\)

    \[R = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

    свободная: \(x_2\)

    \(\mathbf{s} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Ответ: итог зависит от \(c\), как указано выше.

4.19. Решения \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) и \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) (Туториал 3, Задание 4)
  1. Если у \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) два решения \(\mathbf{x}_1\) и \(\mathbf{x}_2\), найдите два решения \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
  2. Затем найдите ещё одно решение \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: разность двух решений неоднородной системы — решение однородной.

(a) Два решения \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\):

Из \(A\mathbf{x}_1 = \mathbf{b}\) и \(A\mathbf{x}_2 = \mathbf{b}\): \[A(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) = A\mathbf{x}_1 - A\mathbf{x}_2 = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}\]

Значит \(\mathbf{v}_1 = \mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2\) — решение \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).

Аналогично \(\mathbf{v}_2 = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1 = -\mathbf{v}_1\). Оба в null space; они коллинеарны, если только \(\mathbf{x}_1 \neq \mathbf{x}_2\).

Другой вариант ответа: любое \(c(\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2)\) при \(c\neq 0\) — решение \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\).

(b) Ещё одно решение \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\):

Полное решение: \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \cdots\) с \(\mathbf{x}_p\) — частное, остальное из \(\text{Nul}(A)\).

Возьмём \(\mathbf{x}_p=\mathbf{x}_1\): \[\mathbf{x}_3 = \mathbf{x}_1 + (\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) = 2\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2\]

Проверка: \(A\mathbf{x}_3 = 2\mathbf{b}-\mathbf{b}=\mathbf{b}\) ✓

Ответ: (a) например \(\mathbf{v}_1 = \mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2\) и \(\mathbf{v}_2 = -(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2)\)

  1. \(\mathbf{x}_3 = 2\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2\) (или \(\mathbf{x}_1 + c(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2)\) при любом \(c\))
4.20. Условия разрешимости и вид решения (Туториал 3, Задание 5)

При каких \(b_1, b_2, b_3, b_4\) каждая система согласована? Найдите \(\mathbf{x}\):

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 9 & 12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: согласованность \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{b} \in \text{Col}(A)\); проверяем по расширенной матрице.

Первая система:

  1. Расширенная матрица: \[\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & b_2 \\ 2 & 5 & b_3 \\ 3 & 9 & b_4 \end{array}\right]\]

    после преобразований строк: \[\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 1 & b_3 - 2b_1 \\ 0 & 3 & b_4 - 3b_1 \end{array}\right]\]

    далее: \[\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & b_1 \\ 0 & 1 & b_3 - 2b_1 \\ 0 & 0 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & b_4 - 3b_1 - 3(b_3 - 2b_1) \end{array}\right]\]

    \[= \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & b_1 \\ 0 & 1 & b_3 - 2b_1 \\ 0 & 0 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & b_4 + 3b_1 - 3b_3 \end{array}\right]\]

  2. Условия согласованности:

    • \(b_2 = 2b_1\)
    • \(b_4 = 3b_3 - 3b_1 = 3(b_3 - b_1)\)

  3. Решение (при выполнении условий): \(x_2 = b_3 - 2b_1\), \(x_1 = b_1 - 2x_2 = b_1 - 2(b_3 - 2b_1) = 5b_1 - 2b_3\)

    \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5b_1 - 2b_3 \\ b_3 - 2b_1 \end{bmatrix}\]

Вторая система:

  1. Расширенная матрица: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & b_2 \\ 2 & 5 & 7 & b_3 \\ 3 & 9 & 12 & b_4 \end{array}\right]\]

    после приведения (шаги опущены): \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & b_1 \\ 0 & 1 & 1 & b_3 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_4 - 3b_1 - 3(b_3 - 2b_1) \end{array}\right]\]

  2. Условия согласованности:

    • \(b_2 = 2b_1\)
    • \(b_4 = 3(b_3 - b_1)\)

  3. Решение: положим свободную \(x_3 = t\): \[x_2 = (b_3 - 2b_1) - x_3 = (b_3 - 2b_1) - t\] \[x_1 = b_1 - 2x_2 - 3x_3 = b_1 - 2[(b_3 - 2b_1) - t] - 3t = 5b_1 - 2b_3 - t\]

    \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5b_1 - 2b_3 \\ b_3 - 2b_1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Ответ: первая система согласована при \(b_2 = 2b_1\) и \(b_4 = 3(b_3 - b_1)\); \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5b_1 - 2b_3 \\ b_3 - 2b_1 \end{bmatrix}\)

вторая — при тех же условиях; \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5b_1 - 2b_3 \\ b_3 - 2b_1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)

4.21. Полное решение в виде \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\) (Туториал 3, Задание 6)

Запишите полные решения \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\):

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\), где \(\mathbf{x}_p\) — частное, \(\mathbf{x}_n \in \text{Nul}(A)\).

Первая система:

  1. Расширенная матрица: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 4 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]\]

  2. Частное решение: из второй строки: \(w = 2\); из первой: \(u + 2v + 4 = 1\), т.е. \(u + 2v = -3\).

    Возьмём \(v = 0\): \(u = -3\).

    \(\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\)

  3. \(\text{Nul}(A)\) (специальное решение): однородная строка: \(u + 2v + 2w = 0\), свободная \(v\).

    \(v=1, w=0 \Rightarrow u=-2\): \(\mathbf{s} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

  4. Полное решение: \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + v\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]

Вторая система:

  1. Расширенная матрица: \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 4 & 4 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]\]

  2. Согласованность: вторая строка даёт \(0 = 2\) — противоречие.

    Решений нет.

Ответ: первая: \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + v\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)

вторая: несогласованная система

4.22. Несогласованная система при нетривиальном \(\text{Nul}(A)\) (Туториал 3, Задание 7)

Приведите пример \(2\times 2\) системы \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\), где \(\text{Nul}(A)\) бесконечномерен, а \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) не имеет решения. Для каких \(\mathbf{b}\) система разрешима?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\operatorname{rank}A<n\) и \(\mathbf{b}\notin\text{Col}(A)\).

  1. Построение: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\), \(\operatorname{rank}A=1\).

    \(\text{Col}(A) = \left\{c\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}\) — прямая.

    \(\text{Nul}(A) = \left\{t\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\) — бесконечно много решений \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\).

  2. Возьмём \(\mathbf{b}\notin\text{Col}(A)\): \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\).

    \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 = 1 \end{cases}\] подстановка даёт \(2=1\) ✗

    решений нет, null space нетривиален.

  3. Разрешимость: нужно \(\mathbf{b} = c\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\), т.е. \(\mathbf{b}\in\text{Col}(A)\).

Ответ: \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) — нет решения; \(\mathbf{x}_h = t\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Согласованность при \(\mathbf{b} = c\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\).

4.23. Восстановить матрицу по полному решению (Туториал 3, Задание 8)

Найдите \(A\), для которой полное решение \(A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\) имеет вид

\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: по \(\mathbf{x}_p\) и направлению в \(\text{Nul}(A)\) восстанавливаем \(A\).

  1. Чтение структуры:

    • \(\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
    • \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \in \text{Nul}(A)\)

  2. Из \(\text{Nul}(A)\): \[A\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

    Для \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) получаем \(b=d=0\), т.е. \(A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix}\).

  3. Из \(A\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\): \[\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\]

    \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\)

  4. Проверка: частное \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) ✓; \(\text{Nul}(A) = \operatorname{span}\{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\}\) ✓

Ответ: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\)

4.24. Ступенчатый вид и полное решение (Туториал 3, Задание 9)

Найдите ступенчатый вид \(U\), свободные переменные и специальные решения:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 6 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\]

Система \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) согласована, когда \(\mathbf{b}\) удовлетворяет условию ______. Запишите полное решение \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: по REF видны pivot-столбцы, свободные переменные и условия на \(\mathbf{b}\).

  1. Приведение: \[\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 3 & b_1 \\ 0 & 2 & 0 & 6 & b_2 \end{array}\right]\]

    в столбце 1 нет pivot.

    \(R_2 \to R_2 - 2R_1\): \[\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & 0 & 3 & b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_2 - 2b_1 \end{array}\right]\]

  2. Ступенчатый вид \(U\): \[U = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

  3. Согласованность: \(b_2 - 2b_1 = 0\), т.е. \(b_2 = 2b_1\)

  4. Pivot и свободные:

    • pivot: столбец 2 (\(x_2\))
    • свободные: \(x_1, x_3, x_4\)

  5. Частное (свободные \(=0\)): \(x_2 = b_1\)

    \[\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} 0 \\ b_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]

  6. Специальные (однородная): \(x_2 + 3x_4 = 0\)

    • \(\mathbf{s}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
    • \(\mathbf{s}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
    • \(\mathbf{s}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

  7. Полное решение: \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ b_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t_2\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t_3\begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Ответ: \(U = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

условие: \(b_2 = 2b_1\)

свободные: \(x_1, x_3, x_4\)

\(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ b_1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t_2\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t_3\begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

4.25. Невырожденная подматрица по рангу (Туториал 3, Задание 10)

Если \(\operatorname{rank}A=r\), существует невырожденная подматрица \(r\times r\). Укажите \(S\) по pivot-строкам и столбцам для каждой матрицы:

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: подматрица на пересечении pivot-строк и pivot-столбцов обратима.

Матрица 1: \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\]

  1. Приведение: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

  2. Pivots:

    • (1,1) и (2,3) \(\operatorname{rank}A=2\)

  3. \(S\): строки 1,2 и столбцы 1,3: \[S = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\]

    \(\det(S)=1\neq 0\) ✓

Матрица 2: \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\]

  1. Приведение: \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]
  2. Pivot: столбец 1, \(\operatorname{rank}A=1\)
  3. \(S=[1]\), \(\det(S)=1\) ✓

Матрица 3: \[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

  1. Уже ступенчатый вид: pivots в (1,2) и (3,3), \(\operatorname{rank}A=2\)
  2. \(S\): строки 1,3 и столбцы 2,3: \[S = I_2\]

Ответ:

  • Матрица 1: \(S = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\) (\(r=2\))
  • Матрица 2: \(S = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\) (\(r=1\))
  • Матрица 3: \(S = I_2\) (\(r=2\))